python-如何在Numpy中实现二次采样的RBF(径向基函数)?

我试图按照CalTech lecture here的描述在Python和Numpy中实现径向基函数.数学对我来说似乎很清楚,所以我发现它不起作用(或似乎不起作用)很奇怪.这个想法很简单,一个人为每个高斯形式选择一个子采样中心的数量,形成一个核矩阵,并试图找到最佳系数.即求解Kc = y,其中K是最小平方的高斯核(克)矩阵.为此,我做到了:

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X,Y=subsampled_data_points,squared=True))
#(C,_,_,_) = np.linalg.lstsq(K,Y_train)
C = np.dot( np.linalg.pinv(Kern), Y )

但是当我尝试用原始数据绘制插值时,它们看起来完全不同:

enter image description here

100个随机中心(来自数据集).我还尝试了10个中心,它们使用训练集中的每个数据点生成的图表基本上相同.我假设使用数据集中的每个数据点或多或少都可以完美地复制曲线,但是并没有(过度拟合).它产生:

enter image description here

这似乎不正确.我将提供完整的代码(可以正常运行):

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances

from scipy.interpolate import Rbf

import matplotlib.pyplot as plt

## Data sets
def get_labels_improved(X,f):
    N_train = X.shape[0]
    Y = np.zeros( (N_train,1) )
    for i in range(N_train):
        Y[i] = f(X[i])
    return Y

def get_kernel_matrix(x,W,S):
    beta = get_beta_np(S)
    #beta = 0.5*tf.pow(tf.div( tf.constant(1.0,dtype=tf.float64),S), 2)
    Z = -beta*euclidean_distances(X=x,Y=W,squared=True)
    K = np.exp(Z)
    return K

N = 5000
low_x =-2*np.pi
high_x=2*np.pi
X = low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1)
# f(x) = 2*(2(cos(x)^2 - 1)^2 -1
f = lambda x: 2*np.power( 2*np.power( np.cos(x) ,2) - 1, 2) - 1
Y = get_labels_improved(X , f)

K = 2 # number of centers for RBF
indices=np.random.choice(a=N,size=K) # choose numbers from 0 to D^(1)
subsampled_data_points=X[indices,:] # M_sub x D
stddev = 100

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X,Y=subsampled_data_points,squared=True))
#(C,_,_,_) = np.linalg.lstsq(K,Y_train)
C = np.dot( np.linalg.pinv(Kern), Y )

Y_pred = np.dot( Kern , C )

plt.plot(X, Y, 'o', label='Original data', markersize=1)
plt.plot(X, Y_pred, 'r', label='Fitted line', markersize=1)
plt.legend()
plt.show()

由于图看起来很奇怪,因此我决定阅读有关图函数的文档,但找不到任何明显错误的东西.

最佳答案

插值函数的缩放

主要问题是不幸地选择了用于插值的函数的标准偏差:

stddev = 100

函数的功能(驼峰)的大小约为1.因此,请使用

stddev = 1

X值的顺序

红线乱七八糟,是因为matplotlib的plt按给定的顺序连接了连续的数据点.由于您的X值是随机顺序的,因此会导致左右运动混乱.使用排序的X:

X = np.sort(low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1), axis=0)

效率问题

您的get_labels_improved方法效率低下,它会遍历X的元素.使用Y = f(X),将循环留给低级NumPy内部.

同样,应该使用lstsq完成超定系统的最小二乘解的计算,而不是计算伪逆(计算上昂贵)并乘以它.

这是清理后的代码;使用30个中心非常合适.

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances

import matplotlib.pyplot as plt

N = 5000

low_x =-2*np.pi
high_x=2*np.pi
X = np.sort(low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1), axis=0)
f = lambda x: 2*np.power( 2*np.power( np.cos(x) ,2) - 1, 2) - 1
Y = f(X) 

K = 30 # number of centers for RBF
indices=np.random.choice(a=N,size=K) # choose numbers from 0 to D^(1)
subsampled_data_points=X[indices,:] # M_sub x D
stddev = 1

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X, Y=subsampled_data_points,squared=True))
C = np.linalg.lstsq(Kern, Y)[0]

Y_pred = np.dot(Kern, C)

plt.plot(X, Y, 'o', label='Original data', markersize=1)
plt.plot(X, Y_pred, 'r', label='Fitted line', markersize=1)
plt.legend()
plt.show()